Solução:
Sabemos que tanto L1 e L2 estão contidos em duas semi-circunferências cujos diâmetros são os catetos do triangulo T.
Como percebemos na figura, o triangulo T esta inscrito em uma semi-circunferência de diâmetro igual a sua hipotenusa.
Convencionando os catetos do triangulo como a e b,( "a" sendo o diâmetro de L1 e "b" sendo diâmetro de L2), e a hipotenusa como c ( "c" sendo diâmetro da circunferência cincunscrita ao triangulo T), temos que:
Área do triangulo T :
a.b
2
Área da semi-circunferência que esta contido L1:
pi.(a/2)²
2
Área da semi-circunferência que esta contido
L2 :
pi.(a/2)²
2
Área da circunferência circunscrita ao triangulo:
pi.(c/2)²
2
Acharemos agora a área branca...
pi.(c/2)² - a.b
2 2
Agora basta diminuirmos a área branca da soma das áreas da s semi-circunferências que estão contido L1 e L2, e acharemos a soma de L1 + L2:
L1 + L2 = pi.(a/2)² + pi.(b/2)² - [ pi.(c/2)² - a.b]
2 2 2 2
L1 + L2 = pi.(a/2)² + pi.(b/2)² - pi.(c/2)² + a.b
2 2 2 2
L1 + L2 = pi.[ (a/2)² + (b/2)² - (c/2)²] + a.b
2
L1 + L2 = pi.[a²/4 + b²/4 - c²/4] + a.b
2
L1 + L2 = pi[ a² + b² - c²] +a.b
4
2
{pelo teorema de Pitágoras temos que: c² = b² + a²,logo}
L1 + L2 = pi.[ c² -c² ] + a.b
4
2
L1 + L2 = a.b como queríamos provar....
2
espero ter ajudado...
geometrizando..
16/03/2012
