Para efetuar um sorteio entre os n alunos de uma escola (n > 1) se adota o seguinte
procedimento. Os alunos são colocados em roda e inicia-se uma contagem da forma
"um, DOIS, um, DOIS,...". Cada vez que se diz DOIS o aluno
correspondente é eliminado e sai da roda. A contagem prossegue até que sobre um
único aluno, que é o escolhido.
a) Para que valores de n o aluno escolhido é aquele por quem começou o sorteio?
b) Se há 192 alunos na roda inicial, qual
é a posição na roda do aluno escolhido?
Solução:
a) Para que o primeiro da fila seja o escolhido é
preciso inicialmente que haja um número par de alunos (caso contrário,
ele será eliminado quando começar a segunda rodada, o que contradiz o enunciado). Mais precisamente, o
primeiro da fila é o escolhido se, e somente se, a cada rodada do sorteio, a fila tem um número
par de alunos. Portanto, o primeiro da fila é escolhido se e só se o número de
alunos é uma potência de 2.
b) Inicialmente deve se fatorar o número de aluno. Como 192 = 26 . 3, nas primeiras 6
rodadas a fila tem um número par de alunos. Após estas 6 rodadas, a fila se
reduz a três alunos e é fácil verificar que o escolhido é o terceiro deles.
Resta, portanto, determinar quem são os alunos que restam após as primeiras 6 rodadas.
Na primeira rodada, sobrevivem 1, 3, 5, 7, ..., 191. De um modo geral,
sobrevivem à rodada de ordem n (n = 1, 2, ..., 6) os números da
forma 2n . k + 1.
Portanto, após 6 rodadas os sobreviventes são 1, 65 e 129 e o aluno escolhido é
o de número 129.
Espero ter ajudado...
Geometrizando...
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