Uma questão para pensar...

Na figura abaixo, prove que a soma das áreas das figuras L₁ e L_{2 é igual a area do triângulo T.}

Solução:

Sabemos que tanto L₁  e L_{2 estão contidos em duas semi-circunferências cujos diâmetros são os catetos do triangulo T.}

Como percebemos na figura, o triangulo T esta inscrito em uma semi-circunferência de diâmetro igual a sua hipotenusa. 

Convencionando os catetos do triangulo como a e b,( "a" sendo o diâmetro de L_{1 e "b" sendo diâmetro de} L_{2), e a hipotenusa como c ( "c" sendo diâmetro da circunferência cincunscrita ao triangulo T), temos que:}

_{Área do triangulo T :}

    _a.b 

      2   

Área da semi-circunferência que esta contido L_1:

pi.(a/2)²

       2

Área da semi-circunferência que esta contido  L_2 :

pi.(a/2)²

       2

Área da circunferência circunscrita ao triangulo:

pi.(c/2)²

      2

Acharemos agora a área branca...

pi.(c/2)² - a.b

      2           2  

Agora basta diminuirmos a área branca da soma das áreas da s semi-circunferências que estão contido  L_1  e L_{2, e acharemos a soma de} L_1  + L₂:

L_1  + L₂  = pi.(a/2)² +  pi.(b/2)² - [ pi.(c/2)²  - a.b]

                      2              2               2          2

L_1  + L₂ = pi.(a/2)² + pi.(b/2)²  -  pi.(c/2)² + a.b

                     2              2               2          2

L_1  + L₂ = pi.[ (a/2)² + (b/2)² - (c/2)²] + a.b

                                     2

L_1  + L₂ = pi.[a²/4 + b²/4 - c²/4] + a.b

                                 2

L_1  + L₂ = pi[ a² + b² - c²] +a.b     

                          4                 

                               ₂

{pelo teorema de Pitágoras temos que: c² = b² + a²,logo}

L_1  + L₂  = pi.[ c² -c² ] + a.b

                         ₄              

                             2

L_1  + L₂ = a.b             como queríamos provar....

                 2

espero ter ajudado...

geometrizando..

16/03/2012