10ª Olimpíada do Cone Sul - Problema 3

Há 1999 bolinhas em uma reta; algumas são vermelhas e as demais azuis (poderiam ser todas vermelhas ou todas azuis). Debaixo de cada bolinha escrevemos o número igual à soma da quantidade de bolinhas vermelhas à direita dela mais a quantidade de bolinhas azuis à esquerda dela. Se, na sequência de números assim obtida, houver exatamente três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, quais podem ser estes três números?

Solução:

Se as 1999 bolinhas são de uma mesma cor, a sucessão de números é crescente ou decrescente. Cada número aparece uma vez só e há 1999 (portanto, não há

exatamente 3 números que se repetem um número ímpar de vezes (1 é ímpar). Logo, há bolinhas das duas cores.

Dada uma distribuição das bolinhas que tem em certa posição uma bolinha azul A e na posição seguinte uma bolinha vermelha R, se há a bolinhas azuis à esquerda de A e r bolinhas vermelhas à sua direita, então há a + 1 bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita. O número escrito embaixo de A é

n = a + r e o número escrito embaixo de R é a + 1 + r – 1 = n.

Se trocamos de lugar A e R, e não mexemos em nenhuma outra bolinha, na nova distribuição há a bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita, enquanto que à esquerda de A há a bolinhas azuis e, à sua direita, r – 1

bolinhas vermelhas. Os números escritos embaixo de R e A são a + r – 1= n – 1 e a + r – 1 = n – 1. Os números escritos embaixo das outras bolinhas não mudam.

Então, depois da troca, o número n se repete duas vezes menos e o número n – 1 se repete duas vezes mais. Os números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes serão os mesmos em ambas configurações.

Portanto, basta estudar a configuração na qual todas as bolinhas vermelhas são consecutivas, a partir da primeira, e todas as azuis são consecutivas, a partir da última vermelha.

Sejam a, b, as quantidades de bolinhas vermelhas e azuis, respectivamente; então a + b = 1999. Embaixo da primeira bolinha (é vermelha) está o número a – 1, na seguinte, a – 2, depois a – 3, e assim por diante, até ter 0 na última bolinha vermelha (na posição a). Então, embaixo da primeira bolinha azul há 0, na segunda 1 e assim por diante, até a última, que tem b – 1 embaixo.

Se a < b, os números 0, 1, 2, …, a – 1 aparecem duas vezes (quantidade par) e os números a, a + 1, a + 2, …, b – 1 aparecem uma vez (quantidade ímpar). Se há exatamente 3 números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, estes são a, a + 1 e a + 2 = b – 1. Portanto, a + b = 2a + 3, donde a = 998, e os três números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes são 998, 999 e 1000.

Se a > b,  os três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes são b,

b +1 e b + 2 = a – 1, donde a + b = 2b + 3 e os tres números são, novamente, 998, 999 e 1000.

Espero ter ajudado...

Geometrizando...