Há 1999 bolinhas em uma reta; algumas são vermelhas
e as demais azuis (poderiam ser todas vermelhas ou todas azuis). Debaixo de
cada bolinha escrevemos o número igual à soma da quantidade de bolinhas
vermelhas à direita dela mais a quantidade de bolinhas azuis à esquerda dela.
Se, na sequência de números assim obtida, houver exatamente três números que
aparecem uma quantidade ímpar de vezes, quais podem ser estes três números?
Solução:
Se
as 1999 bolinhas são de uma mesma cor, a sucessão de números é crescente ou
decrescente. Cada número aparece uma vez só e há 1999 (portanto, não há
exatamente 3 números que se repetem um número ímpar
de vezes (1 é ímpar). Logo, há bolinhas das duas
cores.
Dada uma distribuição das bolinhas que tem em certa
posição uma bolinha azul A e na
posição seguinte uma bolinha vermelha R,
se há a bolinhas azuis à esquerda de A e r
bolinhas vermelhas à sua direita, então há a
+ 1 bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita.
O número escrito embaixo de A é
n = a + r e o número escrito
embaixo de R é a + 1 + r – 1 = n.
Se trocamos de lugar A e R, e não mexemos em
nenhuma outra bolinha, na nova distribuição há a bolinhas azuis à esquerda de R
e r – 1 bolinhas vermelhas à sua
direita, enquanto que à esquerda de A
há a bolinhas azuis e, à sua direita,
r – 1
bolinhas vermelhas. Os números escritos embaixo de R e A
são a + r – 1= n – 1 e a + r – 1 = n – 1. Os números escritos embaixo das outras bolinhas não mudam.
Então, depois da troca, o número n se repete duas vezes menos e o número n – 1 se repete duas vezes mais. Os
números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes serão os mesmos em ambas
configurações.
Portanto, basta estudar a configuração na qual todas
as bolinhas vermelhas são consecutivas, a partir da primeira, e todas as azuis
são consecutivas, a partir da última vermelha.
Sejam a, b, as quantidades de bolinhas vermelhas e azuis,
respectivamente; então a + b = 1999. Embaixo da primeira bolinha (é vermelha)
está o número a – 1, na seguinte, a – 2, depois a – 3, e assim por diante,
até ter 0 na última bolinha vermelha (na posição a). Então, embaixo da
primeira bolinha azul há 0, na segunda 1 e assim por diante, até a última, que
tem b – 1 embaixo.
Se a < b, os números 0, 1, 2, …, a – 1 aparecem duas vezes
(quantidade par) e os números a, a + 1, a + 2, …, b – 1 aparecem uma vez (quantidade ímpar). Se há
exatamente 3 números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, estes são a, a + 1 e a + 2 = b – 1. Portanto, a + b = 2a + 3, donde a = 998, e os três números
que se repetem uma quantidade ímpar de vezes são 998, 999 e 1000.
Se a > b, os três
números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes são b,
b +1 e b + 2 = a – 1, donde a + b = 2b + 3 e os tres números são,
novamente, 998, 999 e 1000.
Espero ter ajudado...
Geometrizando...
